L’Accademia norvegese di Scienze e Lettere ha deciso di attribuire il
premio Abel per il 2004, a Sir Michael
Francis Atiyah (Università d’Edimburgo) e Isadore
M. Singer del Massachusetts Institute of Technology
“per aver scoperto e dimostrato
il teorema dell’indice coniugando topologia, geometria e analisi, e
per il ruolo straordinario che hanno avuto nel creare nuovi ponti tra matematica
e fisica teorica.”
Il Premio Abel ha un valore di sei milioni di corone norvegesi (875.000 USD,
475.000 GBP, 710.000 EUR) ed è stato attribuito per la prima volta nel
2003 a Jean-Pierre Serre.
Il teorema dell’indice di Atiyah-Singer è una delle
pietre miliari della Matematica del ventesimo secolo, che ha influenzato incommensurabilmente molti
degli sviluppi più significativi avvenuti in Topologia, Geometria differenziale
e Teoria quantistica dei campi. I suoi artefici, sia insieme sia individualmente,
sono riusciti in modo magistrale a colmare il divario esistente tra il mondo
della Matematica pura e quello della Fisica teorica delle particelle, dando
vita a un processo d’interazione, in un fecondo scambio a doppio senso
che è uno dei fenomeni più interessanti degli ultimi decenni.
Noi descriviamo il mondo misurando quantità e forze che variano nel
tempo e nello spazio. Le leggi della natura sono spesso espresse mediante formule
che spiegano questi cambiamenti, le cosiddette equazioni differenziali. Tali
formule possono avere un indice, ovvero il numero di soluzioni delle
formule meno il numero di restrizioni che esse impongono al valore delle quantità calcolate.
Il teorema dell’indice calcola questo numero in termini di geometria
dello spazio circostante.
A fini esemplificativi si può citare la celebre litografia paradossale
di M.C. Escher, Ascending and Descending, dove i personaggi, salendo
e scendendo incessantemente, riescono comunque a fare il giro del cortile del
castello. Il teorema dell’indice avrebbe spiegato loro che ciò era
impossibile!
Il teorema dell’indice di Atiyah-Singer è stato il culmine
e il coronamento di un’evoluzione ultracentenaria delle idee, a partire
dal teorema di Stokes, che gli studenti imparano duranti i corsi di Analisi
matematica, fino alle teorie moderne più sofisticate quali la teoria
di Hodge sugli integrali armonici e il teorema della segnatura di Hirzebruch.
Il problema risolto dal teorema di Atiyah-Singer è presente ovunque.
Nei quarant’anni che sono trascorsi dalla sua scoperta, ha avuto innumerevoli
applicazioni, anzitutto in Matematica e poi, a partire dalla fine degli anni
Settanta, nella Fisica teorica (teoria di gauge, instantoni, monopoli, teoria
delle stringhe, teoria delle anomalie ecc.).
All’inizio, le applicazioni alla Fisica sono state una vera e propria
sorpresa sia per la comunità dei matematici sia per quella dei fisici,
ma ora il teorema dell’indice è diventato parte integrante
della loro cultura. Atiyah and Singer non si sono mai stancati di cercare di
spiegare ai matematici i progressi realizzati dai fisici. Al tempo stesso,
hanno sottoposto all’attenzione dei fisici la Geometria differenziale
moderna e l’Analisi, così come essa viene applicata alla teoria
quantistica dei campi, e hanno suggerito nuove direzioni alla stessa Fisica.
Questo processo d’interazione continua a essere fruttuoso per entrambe
le scienze.
In origine, Atiyah e Singer provenivano da branche diverse della Matematica:
Atiyah dalla Geometria algebrica e dalla topologia, Singer dall’Analisi.
Anche i loro principali contributi alle rispettive discipline sono stati
ampiamente apprezzati. L’opera iniziale di Atiyah sulle forme meromorfiche
nelle varietà algebriche e il suo importante lavoro del 1961 sui complessi
di Thom ne sono degli esempi. Il lavoro pionieristico di Atiyah insieme a
Friedrich Hirzebruch sullo sviluppo di un analogo topologico alla K-teoria
di Grothendieck ha trovato numerose applicazioni nei problemi classici della
Topologia e più tardi si è scoperto essere fortemente correlato
al teorema dell’indice.
Singer è stato il primo a occuparsi del concetto di algebre di operatori
triangolari (insieme a Richard V. Kadison). Il nome di Singer è legato
anche al teorema dell’olonomia di Ambrose-Singer e dell’invariante
topologico noto come torsione di Ray-Singer. Insieme a Henry P. McKean, ha
evidenziato le profonde informazioni geometriche che si celano nei nuclei del
calore, una scoperta che ha avuto grandi ripercussioni.
