19.03.2007

Una sfida alle tentazioni della logica

Il Manifesto Domenica 18 marzo ’07
Pagina 12 “Cultura” di Luca Tomassini

Da Micheal Atiyah una sfida alle tentazioni della logica

“Credo che la matematica sia costruita a partire dalla nostra esperienza del mondo esterno.”
C’è una tensione, una vera linea di frattura che attraversa la matematica fin delle sue origini, quella tra intuizione e formalismo, verità immediatamente percepibile e dimostrazione. Un contrasto cui MFA – che abbiamo incontrato ai margini del festival della matematica a Roma – non si è mai arreso, come dimostra la sua straordinaria biografia scientifica. Nato a Londra settantanove anni fa da padre libanese e madre scozzese, cresciuto prima in Sudan e poi nel regno unito, è universalmente riconosciuto come una delle più geniali menti matematiche del Novecento. “Per tutta la vita – spiega – ho sempre cercato di costruire ponti”, e il celebrato teorema che porta il suo nome (insieme a quello del collega Isadore M. Singer) ha non solo rivelato profonde e inattese connessioni tra topologia, geometria e analisi ma ha avuto un ruolo straordinario nel colmare il divario tra il mondo della matematica pura e quello della fisica teorica.

“La matematica – dice ancora Atiyah – comincia con idee generaliu che diventano via via più precise e specializzate. Durante il XX secolo le sue parti principali sono state affrontate separatamente, con la ben fondata speranza di realizzare progressi più rapidi. Sul lungo periodo questa strategia espone però al pericolo di perdere una visione di insieme, ma oggi per fortuna viviamo di nuovo in un’epoca di sintesi”.

Ci può spiegare come giustifica la sua scelta di avversare, nel dibattito sui fondamenti della matematica, un orientamento basato sulla logica?

Molti sono convinti che la matematica si risolva nell’esibire dimostrazioni, dimostrazioni di carattere logico: credo sia un grave errore. E’ vero, è il cemento che tiene unita tutta la matematica, il suo obiettivo ultimo, ma il mezzo con cui la otteniamo è l’immaginazione, non il cieco calcolo. Non si comincia un lavoro con chiodi e martello, ma con un’idea.

Il calcolo, appunto, viene spesso identificato con l’algebra e contrapposto alla geometria. Anche per lei è così?

Ho sempre avuto un grande interes­se per la questione del rapporto tra algebra e geometria. E poiché la no­stra percezione di noi stessi e del mondo si articola intorno alle cate­gorie di tempo e spazio, trovo del tutto naturale supporre che esse sia­no al cuore di questo problema. Per quanto riguarda la geometria, nessuno dubita del fatto che il suo principale oggetto di studio sia proprio lo spazio, come lo percepia­mo in un determinato istante. Al contrario, nell'algebra moderna ef­fettuiamo operazioni in una deter­minata sequenza, una dopo l'altra, nel tempo appunto: è un algoritmo di calcolo, niente affatto diverso da quelli utilizzati da un computer che elabora i suoi dati. Del resto, il pen­siero logico-simbolico comporta il passaggio da una serie di assunzio­ni a delle conclusioni.

Lei ha definito i vantaggi offerti dall'uso del computer come una “offerta faustiana”. Quali sarebbe­ro le tentazioni in campo?

Era una provocazione, naturalmen­te, e ne ho pagato il prezzo suben­do un gran numero di critiche. Per capire quale sia il problema tornia­mo al pensiero geometrico: la sua natura sintetica, intuitiva, è il mi­glior esempio di ciò che intendo per comprensione. Nella storia del­la matematica invece l'algebra è na­ta come un ausilio per il calcolo, la verifica, compito questo che svolge in maniera davvero egregia. Quan­do facciamo un'operazione algebri­ca introduciamo un input e smettia­mo di pensare al suo significato, semplicemente manipoliamo sim­boli seguendo regole formali e infi­ne otteniamo una risposta. In mez­zo c'è una scatola nera. La scompar­sa del desiderio di dare un' occhiata al suo interno è il pericolo che vedo nella diffusione, del calcolo automa­tizzato. Quando ho definito questo fenomeno «faustiano», immagina­vo il diavolo mentre si presenta a uno scienziato e gli dice, suadente: «ecco una macchina meravigliosa, basta formulare un problema e lei ti fornisce la risposta. Tutto quello che devi fare per averla è rinuncia­re alla tua anima, al desiderio di comprendere». Certo, come dimo­stra la disputa tra Isaac Newton e Gottfried Leibniz, le cose non sono sempre così semplici. Newton svi­luppò il suo calcolo infinitesimale per descrivere il movimento dei cor­pi e in ogni suo ragionamento il rife­rimento al mondo reale conservava un'importanza centrale. Leibniz era invece un formalista e il suo cal­colo era un'algebra molto più sem­plice da utilizzare. Tra i due, è il filo­sofo che alla fine ha avuto la me­glio: oggi, infatti, scriviamo il calco­lo differenziale seguendo la sua no­tazione. Resta però il fatto che que­sta scelta non favoriva la compren­sione sintetica di tutti gli aspetti del problema. Capire è vedere, tutto in­sieme e nello stesso istante. Persi­no nel procedimento artistico pos­siamo distinguere un aspetto tecni­co e uno concettuale, e la tentazio­ne diabolica sta nel considerare so­lo il primo.

In, passato lei ha collaborato all’organizzazione di esperimenti il cui intento era quello di chiarire i fondamenti biologici del pensiero matematico. Ce ne può sintetizza­re i risultati?

Alcuni miei colleghi sostengono che per loro ragionare in termini ge­ometrici sia completamente natura­le, altri hanno la stessa sensazione riguardo la formulazione algebrica dei problemi. Mi è sempre interes­sato stabilire se queste inclinazioni avessero un fondamento neurologi­co e per questo ho cercato di verifi­care dov' è che nel cervello «avviene la geometria» e dove «avviene l'alge­bra». La mia ipotesi è che la geome­tria coinvolga l'emisfero deputato alla visione mentre l'algebra, pro­prio come il linguaggio, abbia a che fare con l'emisfero specializzato nella percezione del movimento. L'idea era molto semplice: utilizza­re tecniche di imaging cerebrale per “vedere” cosa succede durante la risoluzione di problemi matema­tici. Naturalmente abbiamo inizia­to con domande elementari e ab­biamo poi verificato che, come pre­visto, semplici calcoli aritmetici coinvolgono le aree del linguaggio mentre all' opposto problemi più complessi sulla natura dei numeri richiedono l'attivazione dell'altro emisfero. Sono risultati incorag­gianti e sono convinto che prose­guendo su questa strada nel giro di dieci o vent’anni avremo la possibi­lità di rispondere a una serie di in­terrogativi che per secoli hanno im­pegnato senza successo i filosofi. Se vogliamo capire come pensa il cervello, la matematica è un ottimo punto di partenza.

Eppure importanti Filosofi della mente come John Searle ritengo­no gli strumenti concettuali attual­mente a nostra disposizione insufficienti a rispondere a interrogativi quali la natura del pensiero, anche matematico. Lei è d’accordo?

Talvolta un problema può essere così complesso da rendere impossibile una risposta definitiva. Per esempio, cosa è la coscienza? Cosa è il pensiero? Credo che quesiti del genere siano destinati a svanire, a perdere di significato. Per millenni gli esseri umani si sono interrogati sulla natura della vita, oggi ragioniamo in termini di selezione naturale , cellule, proteine, Dna. La domanda si è moltiplicata in tante domande, più specifiche e sofisticate.

Dunque ha un fondamento biologico quella che Eugene Wiegner definiva la “irragionevole efficacia della matematica” nella descrizione scientifica della realtà?

­Come le dicevo, la matematica è costruita a partire dal mondo esterno. E poi così sorprendente che sia an­che efficace quando si tratta di de­scriverlo? In fondo, la mente uma­na è stata modellata dalla selezione naturale, che in qualche modo l'ha resa «compatibile» con la realtà. Ma la nostra esistenza, le nostre percezioni restano confinate a sca­le macroscopiche e per questa ragione considero sorprendente che la matematica continui a essere ap­plicabile anche al mondo delle par­ticelle elementari. Ma chi può dire qual è la verità? La matematica è ve­ramente uno specchio della realtà o solamente l'immagine che ce ne restituisce il cervello, con tutti i suoi limiti e possibili errori? È pro­prio ora che la fisica diviene sem­pre più sofisticata, proprio come la matematica necessaria a descriver­la, che le domande poste da Kant tornano di grande importanza. Stia­mo sfiorando la natura ultima dello spazio e del tempo o solo costruen­do modelli matematici sempre più complicati per adattarli al meglio a quello che osserviamo? I rapporti tra matematica, fisica e realtà conti­nuano a restare un mistero.

Lei ha formulato e dimostrato un teorema che porta il suo nome e che ha trovato sorprendenti ap­plicazioni proprio nel campo del­la fisica quantistica, influenzando profondamente lo sviluppo della teoria delle stringhe. Ritiene che l'uso sempre più massiccio di sofi­sticati strumenti matematici stia cambiando la natura della ricerca nel campo della fisica?

La fisica si confronta oggi con do­mande sulla realtà a scale talmente piccole e energie talmente alte che la verifica sperimentale diventa sempre più difficile, se non addirit­tura impossibile, e per questo le tec­niche che si hanno a disposizione sono per lo più matematiche. Non sappiamo se quelli della fisica odier­na siano veri passi avanti nella com­prensione del mondo o solo elegan­ti costruzioni concettuali, ma fran­camente non vedo alternative all’uso della matematica.

Viceversa alcuni ricercatori han­no messo in discussione il signifi­cato della dimostrazione come ga­ranzia della certezza matematica. Oggi esiste persino una rivista de­dicata alla cosidetta “matematica teorica”, dove sono presentati “te­oremi” corroborati da analogie con la fisica. Considera positivi questi sviluppi?

Se un nuovo strumento matematico applicativo alla fisica non supera la prova dell’esperimento, non abbiamo alternative a rinunciare al suo uso. Ma se qualcuno partendo da idee fisiche è in grado di ottenere è in grado di ottenere risultati matematici, questi resteranno per sempre. In questo senso la matematica ha tutto da guadagnare da questo rapporto. Molti ricercatori lamentano che le teorie fisiche non sono rigorose ma basate sull’intuizione, ma non colgono l’essenza del problema. Da esse, come è sempre successo nella storia della matematica vengono suggerimenti, nascono congetture che in molti casi sono state successivamente verificate con altri metodi. Non credo esi­sta il rischio che si possa confonde­re ciò che è stato dimostrato con quello che non lo è stato.

 

Nel discorso con cui nel 1995 la­sciava la presidenza della Royal Society lei denunciava con parole molto aspre il disinteresse degli scienziati per il crescente “sospet­to” che la società nutre nei loro confronti. La pensa ancora così?

Più che mai. Il ruolo della scienza e della tecnologia è enormemente cresciuto negli ultimi due secoli e per questa ragione in una società democratica sono i cittadini che, al­meno in linea di principio, dovreb­bero prendere decisioni sui finanziamenti alla ricerca. Ma la scienza, specialmente la “grande scienza”, è oggi sempre più prigioniera del rap­porto con privati, governi e appara­ti militari che non amano dire alle persone quello che, secondo loro, non devono sapere e i rischi di cor­ruzione intellettuale si sono molti­plicati. Gli scienziati dovrebbero mantenere la loro integrità, senza nascondersi dietro pretesti futili co­me quello per cui il pubblico non sarebbe mai sufficientemente «edu­cato» per compiere delle scelte. Og­gi purtroppo gli scienziati non si muovono così e le conseguenze so­no sotto i nostri occhi: il sospetto nei loro confronti è sempre più dif­fuso.

Tra i suoi numerosi impegni sul fronte pubblico c'è stato anche quello al vertice di Pugwash, un'organizzazione internazionale di scienziati che da più di cinquant’anni si batte contro la proliferazione nucleare. Qual è oggi il suo bilancio?

Dopo la caduta del Muro abbiamo avuto una grande opportunità che per ragioni politiche non è stata col­ta e oggi la guerra è tornata sulla scena, insieme alla proliferazione nucleare. Sono sempre stato ottimi­sta, ma è difficile esserlo oggi su ba­si razionali. Mi ricordo che Robert MacNamara, ministro della difesa di Kennedy e poi sostenitore del­l'eliminazione delle armi nucleari, mi confidò di essere approdato alle sue convinzioni dopo la sua espe­rienza nella crisi dei missili a Cuba, quando sembrò che fossimo arriva­ti molto vicini a un conflitto nuclea­re. Benché ritenesse questa even­tualità effettivamente remota, sotto­lineava però che una piccola proba­bilità su lungo arco di tempo può trasformarsi in certezza.

Siamo tutti matematici - Di Renzo Editore